통계학 _ 확률, 베이즈 정리

 

통계학_확률, 베이즈 정리

사상 & 표본공간

 - 확률실험 (random experiment) : 확실히 예측할 수 없는 결과를 유발하는 행위 또는 과정

 - 표본공간 (sample space) : 출현가능한 모든 단일사상들의 집합

 - 사상 (events) : 표본공간의 부분집합, 하나 이상의 단일사상의 집합

 - 근원사상 (elementary outcome, =단일사상) : 표본공간을 구성하는 분해할 수 없는 무작위 실험의 기본적인 결과

 - 여사상 (complement) : 특정 사상의 나머지 집합, P(A^c) = 1-P(A)

 

확률(Probability)

 - 각 근원사상들이 발생할 가능성이 발생할 가능성이 같을 때, 사상 A의 확률 P(A)는

 

확률의 성질

 - 임의의 사상 A에 대하여

  1) 0 ≤ P(A) ≤ 1

  2) P(S) = 1

  3) 서로 배반인 사상열 A_i, i=1, 2, ... 에 대하여 

 

조건부 확률(Conditional probability)

 - 사상 A에 관한 정보가 주어졌을 때, B가 발생할 확률

 

독립(Independent)

 - 표본공간에서 정의되는 두 사상 A와 B의 발생이 서로 무관하여 영향을 주지 않는 경우

 - 두 사상 A, B가 독립이기 위한 필요충분조건

  1) P(A|B) = P(A), P(B) > 0

  2) P(B|A) = P(B), P(A) > 0

  3) P(AB) = P(A)P(B)

 - n개의 사상 A1, ..., An이 상호독립이기 위한 필요충분조건

   : P(A1∩...∩An)=P(A1)...P(An)

 

종속(Dependent)

 - 두 사상 A와 B의 발생이 서로 영향을 받는 경우

 

확률의 합법칙

 

확률의 곱법칙

 

분할

 - 사상 A1, A2, ..., An이 표본공간 S에 대하여 다음 조건을 만족할 경우, S에 대한 분할이라고 한다.

  1) Ai∩Aj = Φ, (단, i ≠ j)

  2) ∪Ai = s   *모든 사상 Ai(i = 1, ..., n)의 합

 

전확률(Total Probability)의 정리

 - 상호배반사상인 B1, ... ,Bn이 표본공간 S를 분할할 경우, 임의의 사상 A에 대해 다음이 성립

베이즈 정리

 - 상호배반사상인 B1, ..., Bn이 표본공간 S를 분할할 경우, 모든 i에 대해 P(Bi)>0이라 하면, P(A)>0인 사상 A에 대하여 다음의 식이 성립한다.