통계학 _ 기대값, 분산, 체비셰프의 부등식, 적률

 

통계학_기대값, 분산, 체비셰프의 부등식, 적률

기대값(Expected value)

 - 사건이 발생했을 때, 이득과 그 사건이 발생할 확률을 곱한 값을 전체 사건에 대하여 합한 값

   (=어떤 확률적 사건에 대한 평균의 의미를 가진다.)

분산(Variance)

 - 확렬변수가 기대값으로부터 얼마나 떨어진 곳에 분포하는지 나타내는 

 

기대값과 분산의 성질

 Let X ~(μ, σ²), c: 상수

 1) E(c) = c

 2) E(X) = μ

 3) E(cX) = cE(X) = cμ

 4) V(c) = 0

 5) V(X) = σ²

 6) V(c, X) = c²V(X) = c²σ²

 7) E(X₁+X₂) = E(X₁) + E(X₂) = μ₁+μ₂

 8) V(X₁+X₂) = V(X₁) + V(X₂) + 2Cov(X₁+X₂)

     *Cov(X₁+X₂) = E(X₁-μ₁)(X₂-μ₂)

      Cov(Covariance, 공분산) : 두 변수가 같은 방향으로 가려는 경향(양의 상관관계, 음의 상관관계 → 상관계수)

 9) V(X₁-X₂) = V(X₁) + V(X₂) - 2Cov(X₁+X₂)

 10)  X₁, X₂가 독립일 경우, V(X₁±X₂) = V(X₁) + V(X₂)

 11) E(X₁·X₂) = E(X₁) · E(X₂) 

 12) E(X₁ ÷ X₂) ≠ E(X₁) ÷ E(X₂)

 

확률변수의 함수의 분산

 

마르코프 부등식(Markov Inequality)

 - 확률변수 X에 대해서 임의의 함수 U(X)≥0과 임의의 모든 양의 상수 c에 대해서 아래 식이 성립한다.

 

체비셰프 부등식(Chebyshev Inequality)

 - 확률변수 X의 평균과 분산이 각각 μ와 σ²일 때(단, μ<∞, σ²<∞), k>0인 상수에 대해 다음의 부등식이 성립한다.

   *정규분포를 따르지 않는, 왜도가 있는 분포에서는 체비셰프의 부등식을 이용하여 확률을 구할 수 있다.

적률과 적률생성함수

 - 적률(Moment) : 확률변수(또는 분포)의 적률은 확률분포를 가지는 확률변수의 거듭제곱의 기대값을 말한다

 - X를 기대값이 존재하는 확률변수라 할 때, X의 r차 적률은 아래와 같다.

 - 중심적률(central moment) : 확률변수 X가 있을 때, a에 대한 X의 r차 중심적률은 E[(X-a)^r]으로 정의한다. 만약 a=μ_X라면 μ_X에 대한 X의 r차 중심적률은 μ_r로 표현하고 다음과 같다.

 - 분위수(Quantile) : 확률변수 X의 확률분포의 q번째 분위수 ξ_q는 F_X(ξ) ≥ q를 만족하는 가장 작은 ξ값

 - 중앙값(Median) : 확률변수 X의 확률분포의 중앙값은 50분위수를 말한다. (ex. med_x ,med(X), ξ_0.5)

 - 계승적률(Factorialmoment) : E[X(X-1)···(X-r-1)]

 - 적률생성함수 : 확률변수 X에 대한 확률밀도함수 f(x) 또는 확률질량함수 p(x)에서 임의의 구간 -h < t < h에서 모든 t에 대해 기대값이 존재한다면 e^tx의 기대값을 X의 적률생성함수라 하며 아래와 같이 표현할 수 있다.

 - 확률변수 X의 기대값이 존재한다면 E(t^x)를 계승적률생성함수(Factorial moment generating function)라고 한다.